Celtic hade med sig 3–0 från mötet i Skottland förra veckan.
Den ledningen fyllde man på i tisdagens möte till 4–0 totalt redan efter 22 minuter.
Men sen blev Celtic för bekväma.
När Florian Flecker i Lask nickade in en retur i 91:a minuten stod det helt plötsligt 4–4 på tavlan.
I förlängningen stänkte Samuel Adeniran in 5–4 och vändningen var fullbordad.
”Det här är rena rama mardrömmen för Celtic. Det är som att Adeniran har all tid i världen”, skriver Sky Sports.
Därmed är Lask för första gången någonsin klart för Champions League.
Svenskt misstag
Vändningen inleddes efter en svensk miss. Benjamin Nygren i Celtic slog en svag passning som friställde Moses Usor som reducerade.
– Han slår en passning i blindo och räknar med att McGregor ska finnas där. Det är ett fint och behärskat avslut, men målet är rena rama gåvan. Ett larvigt mål att ge bort, säger James McFadden i BBC.
När Flecker sedan nickade in kvitteringen i 91:a minuten var det ytterligare drama. Efter en lång VAR-granskning godkändes målet som först misstänktes för offside.
Efter Adenirans ledningsmål fick anfallaren även chansen att göra hattrick. När Lask fick straff i slutminuterna stegade Adeniran fram men lyckades inte överlista Celticmålvakten Viljami Sinisalo.
Men Celtic hade inga krafter kvar att kvittera. Lask vann matchen med 5–1 och totalt med 5–4 över båda matcherna.
”Det är en av de värsta europeiska kvällarna i Celtics historia. Vissa Celtic-fans är i tårar, andra är i chock”, skriver BBC.
Drama på annat håll
I övriga matcher i Champions League-kvalet besegrade azeriska Sabah israeliska Hapeol Be’er Sheva efter förlängningsdrama och är därmed klart för ligafasen.
Lottningen till ligafasen sker på torsdag. Huvudturneringen drar i gång 8 september.