The Athletic skriver att budet från Tyneside är värt 46 miljoner pund, motsvarande omkring 598 miljoner svenska kronor.
Sedan tidigare har även Nottingham Forest uppgett sitt intresse för Tottenham-svensken, med ett bud som inte gick hem hos Londonklubben.
Även Newcastles bud uppges fått nobben.
Bergvalls prislapp
Spurs ska enligt uppgifter ändå vara öppna för att göra en affär till rätt pris.
The Telegraph skriver att Spurs förväntar sig som minst 50 miljoner pund, 650 miljoner svenska kronor, för mittfältaren.
I Newcastle spelar landslagskollegan Anthony Elanga. Bergvall har kontrakt med Tottenham till 2031.