Lucas Bergvall byttes in efter en dryg timmes spel.
I slutminuterna hade han chansen att avgöra.
Då testade svensken från distans – men Jordan Pickford sträckte ut och höll nollan intakt.
Det blev hemmalagets sista målchans, och man väntar fortfarande på säsongens första mål i ligan.
Inte nätat sen förra säsongen
Nu har man nollats i fyra raka matcher – och sedan det senaste målet har Spurs spelat över 400 minuter PL-fotboll.
Det gjordes av Joao Palhinha den 24 maj, i förra säsongens sista omgång, mot just Everton.
Poängen var lagets andra under hösten. Det räcker till en 17:e plats i den haltande tabellen.
Everton har sex pinnar än så länge och ligger sjua.